数学基礎論序説

意味と形式の織り成す世界へ――。

　数学基礎論の入門から最先端までを、大胆な構成と精緻な記述で探る。21世紀の数学基礎論を切り開く力作。

● 「第1部　数理論理学入門」では、数学基礎論の基本ツールとなる数理論理学を初学者に向けて丁寧に解説する。１階論理のエッセンスをゲーデルの完全性定理を中心に学ぶ。

● 「第2部　自然数と実数の形式体系」は数学基礎論の入門編で、自然数論に関するゲーデルの不完全性定理や、実数論に関するタルスキの完全性など、1970年頃まで（「逆数学」誕生以前）の数学基礎論を展望する。

● 「第3部　２階算術と逆数学」では、数学基礎論の新しいプログラム「逆数学」とその周辺に焦点を当て、数学の基礎に対するロジックのさまざまな分析法を案内する。古典的な結果とともに、ラムジーの定理、無限ゲーム、超準モデルなどに関する最近の話題を紹介。とくに代数学の基本定理の超準的証明を完全収録した。

■ 数学基礎論のルネサンス
20世紀の終わりが見えてくると、技術を追求するだけのロジック研究に分野内外から批判の声が上がった。とくにアメリカ数学協会やアメリカ数学会の会長を歴任したマックレーン氏の随筆『数学の健康』（1983）に始まる一連の論争（田中一之 編・監訳『数学の基礎をめぐる論争』［シュプリンガー・フェアラーク東京，1999］に所収）に刺激されて、この分野の研究者たちは数学基礎論がどうあるべきか再考を迫られ、「ホトトギス」があちこちで鳴き出した。（「まえがき」より抜粋・一部修正）