論理・集合と位相空間入門

本書は，解析学・幾何学・代数学など現代の数学のすべての分野の基礎となる論理・集合と位相空間の入門書である．高校数学で数I・数Aしか学んでいない読者でも独習できるように，丁寧かつ他の本を参考にしなくても読みとおせるように工夫した。
　前半では，論理・集合について解説する。まず命題論理では真偽表を用いて論理語を定義し，命題（論理式）の真偽がどのようになるか説明している。初心者が戸惑いがちな論理語の意味についても，わかりやすく説明している。現代数学をマスターする上で不可欠な述語論理については，具体的な例もあげて説明している。次に集合と写像では，有限集合の間の写像も例としてあげ，読者が実際に簡単な「計算」で全単射などの概念が理解できるようにした。最後に濃度を取り扱い，濃度が等しいこと，大小関係などを理解できるよう工夫した。
　後半は位相空間の入門である。まず，実数の性質からはじめて，実数全体のもつ距離空間としての性質を説明している。小中高で学んだ実数の代数的・大小関係的な性質を公理的に説明することからはじめて，実数の連続性，閉包などを述べる。次の距離空間では，最初に，距離空間の重要な例としてユークリッド空間を説明しているが，そこでは有限次元のヒルベルト空間ということを意識して，内積を導入してそこから距離を入れた。近傍，触点，内点，閉包，内部など位相的な概念を記載している。一般の位相空間では，近傍の公理と開集合の公理の同値性などを説明し，位相空間を直観的に理解できるよう構成した。最後に，コンパクト空間を取り扱う。